Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF= ，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BF是⊙O的切线，

∴∠1=∠C，

∵∠ABF=∠ABC，

即∠1=∠2，

∴∠2=∠C，

∴AB=AC；

（2）解：如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，

∵cos∠ADB= ，∴BD= = = =5，

∴AB=3．

在Rt△ABE中，∠BAE=90°，

∵cos∠ABE= ，∴BE= = = ，

∴AE= = ，

∴DE=AD﹣AE=4﹣ = ．

【解析】（1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠1=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC；（2）首先连接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的长度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的长度；最后利用DE=AD﹣AE求得结果．
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，还要掌握切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)的相关知识才是答题的关键．