Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.

(1)求BD·cos∠HBD的值；

(2)若∠CBD=∠A，求AB的长.

Answer 1

【答案】（1）BD·cos∠HBD=4；（2）AB=6.

【解析】试题分析:本题主要考查相似三角形的判定与性质,（1）在Rt△BHD中,BH即为BD·cos∠HBD的值,根据三角形相似可得AD与DC等于BC与HC之比,已知BC=3,即可求得BH的长,（2）根据三角形相似建立两个等量关系和,再根据已知边长求得AB和DH的关系为AB=3DH,代入其中一个等式求得边长DH,即可得到另一个边长AB.

解:(1)∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°，

∴△ABC∽△DHC，∴ =.

∵AC=3CD，BC=3，∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.

在Rt△BHD中，cos ∠HBD=.

∴BD·cos∠HBD=BH=4.

(2)方法一:

∵∠A=∠CBD，∠ABC=∠BHD，

∴△ABC∽△BHD，

∴=.

∵△ABC∽△DHC，

∴==，∴AB=3DH，

∴=，DH=2，∴AB=6.

方法二:

∵∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，

∴△CDB∽△BDA，

∴=，BD2=CD·AD.∴BD2=CD·4CD=4CD2.

∴BD=2CD.

∵△CDB∽△BDA，∴ =.∴=.

∴AB=6.