Question

【题目】如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）四边形EBGD是菱形；（2）10．

【解析】

试题分析：（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题．

试题解析：（1）四边形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，∵∠EDF=∠GBF，∠EFD=∠GFB，DF=BF，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形．

（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=，∴MC=，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=，∴EC===10．

∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．