Question

【题目】如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

Answer 1

【答案】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：

则∠PMA=90°，
设PM的长为x米，
在Rt△PAM中，∠PAM=45°，
∴AM=PM=x米，
∴BM=x﹣100（米），
在Rt△PBM中，∵tan∠PBM= ，
∴tan68°= ≈2.48，
解得：x≈167.57，
在Rt△QAM中，∵tan∠QAM= ，
∴QM=AMtan∠QAM=167.57×tan31°≈167.57×0.60≈100.54（米），
∴PQ=PM﹣QM=167.57﹣100.54≈67.0（米）；信号塔PQ的高度约为67.0米．
【解析】延长PQ交直线AB于点E，连接AQ，设PM的长为x米，先由三角函数得出方程求出PM，再由三角函数求出QM，得出PQ的长度即可．
【考点精析】通过灵活运用关于坡度坡角问题，掌握坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)．用字母i表示，即i=h/l．把坡面与水平面的夹角记作A(叫做坡角)，那么i=h/l=tanA即可以解答此题．