Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=CB，∠BAC=∠BCA，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.

(1)求证:Rt△ABE≌ Rt△CBF；

(2)求证:AE⊥CF；

(3)若∠CAE=30°，求∠ACF度数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ACF=60°

【解析】

(1)在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF;

(2)延长AE交CF于D,根据三角形的内角和得∠CDE=∠ABC=90°;

(3)由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．

（1）证明：

∵∠ABC=90°

∴∠ABE=∠CBF=90°

∴△ABE和△CBF是直角三角形

∵AB=BC，AE=CF

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)

（2）延长AE交CF于D，

∵△ABE≌△CBF

∴∠BAE=∠BCF

∵∠AEB=∠CED

∴∠BAE+∠AEB=90°

∴∠DCE+∠CED=90°

∴∠CDE=90°

∴AE⊥CF.

（3）∵AB=CB，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∠CAB=∠CAE+∠EAB，

∴∠BCA=∠BAC=45°，

∴∠EAB=15°，

∵Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠EAB=∠FCB，

∴∠FCB=15°，

∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°，

即∠ACF=60°．