Question

【题目】如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：结论一： ；

结论二： ；

结论三： ．

（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），

①求CE的最大值；

②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．

（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

Answer 1

【答案】（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①；②当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2﹣．

【解析】

试题分析：（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD；

（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则AC=BC=×2=，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即AD2=AEAC，

AE===AD2，当AD⊥BC，AD最小，且AD=BC=1，此时AE最小为，利用CE=AC﹣AE得到CE的最大值；

②讨论：当AD=AE时，则∠1=∠AED=45°，得到∠DAE=90°，则点D与B重合，不合题意舍去；当EA=ED时，如图1，则∠EAD=∠1=45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，则BD=1；

当DA=DE时，如图2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD为等腰三角形，则DC=CA=，于是有BD=BC﹣DC=2﹣．

解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴AC=BC=×2=，

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD，

∴AD：AC=AE：AD，即AD2=AEAC，

∴AE===AD2，

当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1，

∴AE的最小值为×12=，

∴CE的最大值=﹣=；

②当AD=AE时，

∴∠1=∠AED=45°，

∴∠DAE=90°，

∴点D与B重合，不合题意舍去；

当EA=ED时，如图1，

∴∠EAD=∠1=45°，

∴AD平分∠BAC，

∴AD垂直平分BC，

∴BD=1；

当DA=DE时，如图2，

∵△ADE∽△ACD，

∴DA：AC=DE：DC，

∴DC=CA=，

∴BD=BC﹣DC=2﹣，

∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2﹣．