Question

【题目】如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE、OE.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)填空：

①当∠CAB＝ 时，四边形AOED是平行四边形；

②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①45°②正方形

【解析】【试题分析】（1）连接BD,根据直径所对的圆周角是直角，得 ，因为E为BC边的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得ED＝EB，根据等边对等角，得∠EDB＝∠EBD，由于OD＝OB，得∠ODB＝∠OBD.因为∠EBD＋∠OBD＝90°，所以∠EDB＋∠ODB＝90°，根据切线的定义得：DE是⊙O的切线．

（2）①因为E为BC边的中点，O为AB边的中点， , 欲使四边形AOED是平行四边形，则 ,即D为AC边的中点，又因为 ,则Rt△ABC为等腰直角三角形.即∠CAB＝45 ；② 则四边形OBED是平行四边形，因为 ,则平行四边形OBED为矩形，因为OB=BE,得矩形OBED为正方形.

【试题解析】

（1）连接OD、BD，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°.

∵在Rt△BDC中，E为BC边的中点，

∴ED＝EB＝BC.

∴∠EDB＝∠EBD.

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD.

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，

即∠EBD＋∠OBD＝90°，

∴∠EDB＋∠ODB＝90°，即∠ODE＝90°.

∴DE是⊙O的切线．

（2）①因为E为BC边的中点，O为AB边的中点， ,

欲使四边形AOED是平行四边形，则 ,即D为AC边的中点，因为 ,则Rt△ABC为等腰直角三角形.即∠CAB＝45 ；

② 则四边形OBED是平行四边形，因为 ,则平行四边形OBED为矩形，又因为OB=BE,得矩形OBED为正方形.