【题目】如图1，直线l：y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为直径作⊙M，点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），作PC⊥AB于C，连结BP并延长交⊙O于点D．

（1）求点A，B的坐标和tan∠BAO的值；

（2）设＝x，tan∠BPO＝y．

①当x＝1时，求y的值及点D的坐标；

②求y关于x的函数表达式；

（3）如图2，连接OC，当点P在线段OA上运动时，求OCPD的最大值．

【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，4）；；（2）①y＝，点D的坐标为（，﹣）；②y＝；（3）当x＝4时，OCPD最大值为

【解析】

（1）对于直线l：y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝8，求出点A、B的坐标，即可求解；

（2）①当x＝1时，则BC＝AC，PB＝PA＝，进而确定直线BP的表达式；根据DM是圆的半径，即可求出点D的坐标；

②AB＝AC+BC，求得PA＝，即可求解；

（3）证明△OAC∽△ODP，利用二次函数求最大值的方法，即可求解．

解：（1）对于直线l：y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝8，

故点A、B的坐标分别为：(8，0)、（0，4）；

∴tan∠BAO＝＝＝；

（2）由点A、B的坐标得：AB＝＝4，则圆的半径r＝2，

①如图1，当x＝1时，则BC＝AC，

又∵PM⊥AB，

∴AM＝BM＝AB＝2/span>，

∵tan∠BAO＝＝＝，则cos∠BAO＝，

PB＝PA＝＝＝5，

OP＝OA﹣AP＝8﹣5＝3，故点P(3，0)，

在Rt△BOP中，y＝tan∠BPO＝＝；

设直线BP的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，

故直线BP的表达式为：y＝﹣x+4，

设点D的坐标为：(m，﹣m+4)，

∵点M是AB的中点，则其坐标为：（4，2），

∵DM是圆的半径，

∴MD＝(m﹣4)2+(﹣m+4﹣2)2＝(2)2，

解得：m＝0或（舍去0），

故m＝，

故点D(，﹣)；

故y＝，点D的坐标为(，﹣)；

②在△Rt△ACP中，AC＝＝PA，

∵＝x，则BC＝xAC，

∵AB＝AC+BC＝PA+PAx＝4，

∴PA＝，

∵OP＝OA﹣PA＝4﹣，

y＝tan∠BPO＝＝＝；

（3）如图2，连接OD、OC，

∵∠BOA＝90°，∠BCP＝90°，

∴O、P、C、B四点共圆，

∴∠COP＝∠CBP，

而∠CBP＝∠AOD，

∴∠COP＝∠AOD，

而∠BDO＝∠BAO，

∴△OAC∽△ODP，

∴，即OCPD＝ACOP，

设PA＝x，则OP＝8﹣x，

在Rt△ACP中，AC＝APcos∠BAO＝x＝x，

∴OCPD＝ACOP＝x(8﹣x)＝﹣x2+x，

∵﹣＜0，故OCPD有最大值，

当x＝4时，OCPD最大值为．

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